Question

設

a

=( a1 ， a2)，

b

=( b1 ， b2)，定義一種向量運算：

a

?

b

=( a1b1 ， a2b2)，已知

m

=(

1

2

 ， 2a)，

n

=(

π

4

 ， 0)，點P（x，y）在函數g（x）=sinx的圖象上運動，點Q在函數y=f（x）的圖象上運動，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標原點）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b，且h（x）的定義域為[

π

2

 ， π]，值域為[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）設Q（x₁，y₁），根據定義

OQ

=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

x，2ay)+(

π

4

，0)=(

2x+π

4

，2ay)可得

x1= 2x+π 4 y1=2ay

整理可得

x= 2x1- π 2 y=sinx= y1 2a

①把①代入y=sinx可求答案；
（2）由（1）可得，h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b=a+b-（a+

3

a）cos2x，結合x∈[

π

2

 ， π]，可得2x∈[π，2π]，結合余弦函數的性質，分a＞0，a＜0兩種情況討論．

解答：解：（1）P（x，y）在函數g（x）=sinx的圖象上運動可得，y=sinx，設Q（x₁，y₁），
∵Q滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

x，2ay)+(

π

4

，0)=(

2x+π

4

，2ay)
∴

x1= 2x+π 4 y1=2ay

?

x= 2x1- π 2 y=sinx= y1 2a

又因為y=sinx
代入可得y1=2asin(2x1-

π

2

)=-2acos2x1
即f（x）=-2acos2x
（2）h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b
=2asin²x-

3

asin2x+b
=a+b-2asin(2x+

π

6

)
∵x∈[

π

2

 ， π]，2x+

π

6

∈[

7

6

π，

13

6

π]
當a＞0時，

a+b+2a=5 a+b-a=2

∴a=1，b=2
當a＜0時，

a+b+2a=2 a+b-a=5

∴a=-1，b=5

點評：本題以新定義為載體，考查了向量的基本運算，二倍角公式的運算，三角函數的性質的應用，屬于中檔試題，具有一定的綜合性．