Question

甲、乙、丙三人進行乒乓球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判．設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判．
（1）求第4局甲當裁判的概率；
（2）用X表示前4局中乙當裁判的次數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）根據題意，甲第一局當裁判，則第二局一定是參加比賽，第四局當裁判，說明第三局繼續參加比賽，所以，甲參加了第二、三兩局的比賽，且第二局勝，第三局負.
（2）根據題意，在四局比賽中，乙參賽的情況與比賽結果可用下表表示五種情況：

	第一局	第二局	第三局	第四局	當裁判次數
1	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽	0
2	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（負）	裁判	1
3	參賽（勝）	參賽（負）	裁判	參賽	1
4	參賽（負）	裁判	參賽（勝）	參賽	1
5	參賽（負）	裁判	參賽（負）	裁判	2

由此明確的所有可能的值，以及對應每個取值的含義，求出的分布列，進而求出的值.
試題解析：（1）記A₁表示事件“第2局結果為甲勝”，
A₂表示事件“第3局甲參加比賽時，結果為甲負”，
A表示事件“第4局甲當裁判”．
則A＝A₁·A₂．
P(A)＝P(A₁·A₂)＝P(A₁)P(A₂)＝．                  4分
（2）X的可能取值為0，1，2．
記A₃表示事件“第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝丙”，
B₁表示事件“第1局結果為乙勝丙”，
B₂表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”，
B₃表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”．
則P(X＝0)＝P(B₁·B₂·A₃)＝P(B₁)P(B₂)P(A₃)＝，
P(X＝2)＝P(B₁·B₃)＝P(B₁)P(B₃)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．                  12分