Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m；在此基礎上有函數f（x）=|x-{x}|（x∈R）．對于函數f（x）給出如下判斷：①函數f（x）是偶函數；②函數f（x）是周期函數；③函數f（x）在區間(-

1

2

，

1

2

]上單調遞增；④函數f（x）的圖象關于直線x=k+

1

2

（k∈Z）對稱．則以上判斷中正確結論的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①通過判斷f（-x）是否等于f（x），來判斷函數的奇偶性．②利用周期性的定義，若函數滿足f（x+T）=f（x），則函數為周期是T的周期函數．③可舉出不成立的情況，說明函數y=f（x）在區間(-

1

2

，

1

2

]上不是單調遞增．④利用若函數滿足f（a-x）=f（x），則函數對稱軸為x=

a-x+x

2

，來判斷函數的對稱性．

解答：解：∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，
∴-m-

1

2

＜-x≤-m+

1

2

(m∈Z)
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正確
∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，∴m+1-

1

2

＜x+1≤m+1+

1

2

(m∈Z)
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函數f（x）是周期函數，∴②正確．
∵

1

4

∈(-

1

2

，

1

2

]，

1

3

∈(-

1

2

，

1

2

]，且{

1

4

}=0，{

1

3

}=0
不滿足區間(-

1

2

，

1

2

]上單調遞增，∴③錯誤
∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

(m∈Z)，∴2k+1-m-

1

2

＜2k+1-x≤2k+1-m+

1

2

(m∈Z)
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函數y=f（x）的圖象關于直線x=k+

1

2

(k∈Z)對稱
∴④正確．
故判斷中正確結論的為①②④，
故選C．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的定義域、值域、對稱性和周期性的求法．解決本題的關鍵是理解定義及定義中的運算方式，且對所研究的問題有一定的探究意識．本題考查了判斷推理的能力