Question

若非零函數(shù)對任意實數(shù)均有，且當(dāng)時

（1）求證：；

（2）求證：為R上的減函數(shù)；

（3）當(dāng)時， 對時恒有，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）證法一：即又

當(dāng)時，

則

故對于恒有

證法二： 為非零函數(shù)

（2）證明：令且

有， 又 即

故 又

故為R上的減函數(shù)

（3）實數(shù)的取值范圍為

【解析】

試題分析：（1）由題意可取代入等式，得出關(guān)于的方程，因為為非零函數(shù)，故，再令代入等式，可證，從而證明當(dāng)時，有；（2）著眼于減函數(shù)的定義，利用條件當(dāng)時，有，根據(jù)等式，令，，可得，從而可證該函數(shù)為減函數(shù).（3）根據(jù)，由條件可求得，將替換不等式中的，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合的范圍，從而得解.

試題解析：（1）證法一：即又

當(dāng)時，

則

故對于恒有 4分

證法二： 為非零函數(shù)

（2）令且

有， 又 即

故 又

故為R上的減函數(shù) 8分

（3）故， 10分

則原不等式可變形為

依題意有 對恒成立

或或

故實數(shù)的取值范圍為 13分

考點：1.函數(shù)的概念；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.二次函數(shù).