Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點，點G與F₂關于直線l：x-2y+4=0對稱，且GF₁與l的交點P在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）若P、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓上的不同三點，直線PM、PN的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先根據點G與F₂關于直線l：x-2y+4=0對稱求出點G（-1，4），再結合GF₁與l的交點P在橢圓上得到2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4，進而求出橢圓方程；
（II）先求出點P（-1，

3

2

），直線PM的方程為y=k（x+1）+

3

2

，橢圓方程與直線PM方程聯立求出M（x₁，y₁）的橫坐標與斜率的關系，同樣求出N（x₂，y₂）的橫坐標與斜率的關系；再根據M，N在直線PM、PN上，求出其縱坐標，即可得到直線MN的斜率，進而說明結論．

解答：解：（I）F₂（1，0）關于直線L：x-2y+4=0對稱點G（-1，4）
又GF₁與l的交點P在橢圓上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4．
∴b²=a²-c²=3．
因此，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）由條件知直線PM，PN的斜率存在且不為0，
易得點P（-1，

3

2

），設直線PM的方程為y=k（x+1）+

3

2

，
由橢圓方程與直線PM方程聯立消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0，
∵P在橢圓上，∴方程兩根為1，x₁，
∴1•x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，
∵直線PM，PN的傾斜角互補，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數，
∴x2= -

4k2-12k-3

4k2+3

．
則x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

．
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂+2）=

12k

4k2+3

．
∴直線MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及點關于線對稱問題．解決問題的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理進行求解．