Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）為f（x）的導函數，若f′（x）是偶函數且f′（1）=0
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的最小值；
（3）若過點M（2，m）（m≠2）作曲線y=f（x）條切線，求實數m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f'（x）是偶函數，求得b，再利用f′（1）=0，可求a的值，從而可求函數f（x）的解析式；
（2）求導函數，可求函數在[-2，2]上的最值，對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，即可求出實數c的最小值；
（3）設切點，求出切線方程，過點M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，可得方程2x03-6x02+6+m=0有三個不同的實數解，即函數g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點，從而可求實數m取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx-3，…（1分）
根據題意f'（x）是偶函數得b=0…（2分）
又f'（1）=0，∴3a-3-0，
∴a=1 …（3分）
∴f（x）=x³-3x．…（4分）
（2）令f'（x）=3x²-3=0，即3x²-3=0，解得x=±1．…（5分）

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	極大值	↘	極小值	↗	0

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴當x∈[-2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．…（6分）
則對于區間x2=-

a

上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值為4．…（8分）
（3）∵點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
∴設切點為（x₀，y₀）．則y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，∴切線的斜率為3x02-3．
則3x02-3=

x03-3x0-m

x0-2

，即2x03-6x02+6+m=0．…（10分）
∵過點M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x03-6x02+6+m=0有三個不同的實數解．
即函數g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點．…（11分）
則g'（x）=6x²-12x．
令g'（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

，即

6+m＞0 -2+m＜0

，解得-6＜m＜2．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查導數的幾何意義，考查學生分析轉化問題的能力，正確轉化是關鍵．