Question

已知函數與的圖像都過點，且它們在點處有公共切線.
（1）求函數和的表達式及在點處的公切線方程；
（2）設，其中，求的單調區間.

Answer 1

（1），，；
（2）當時，F(x)的單調減區間是 單調增區間是；
當時，F(x)沒有單調減區間，單調增區間是.

試題分析：(1)因為函數和有公共的切線，所以切線的斜率相同，又因為它們都過，所以可以列出方程，求出；（2）先求導數，求出函數的定義域，通過討論的正負，求導求單調區間.
試題解析：(1)∵過點
∴，,                                        （2分）
∵，∴切線的斜率.
∵， （1）
又∵的圖像過點∴ （2）
聯立（1）（2）解得：                                （4分）
∴；切線方程為，即
∴，；切線為：      （6分）
（2）∵，
∴                            （9分）
①當時，， ∵，∴
又，∴當時， ；
當時，.
∴的單調減區間是 單調增區間是；       （11分）
②當時，顯然沒有單調減區間，單調增區間是.    （13分）