Question

設函數f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1(x∈R）的最大值為M，最小正周期為T
（1）求M，T及函數的單調增區間；
（2）10個互不相等的正數x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10）求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）的形式，（1）利用y=Asin（ωx+φ）型函數參數的幾何意義及周期計算公式即可得M、T，再將內層函數看作整體，利用外層函數的單調性解不等式即可得函數f（x）的單調增區間；（2）因為f（x_i）=M，所以x_i為函數f（x）的對稱軸，求出此對稱軸方程，在規定范圍內列舉求和即可

解答：解：f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2（cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）
（1）∴函數f（x）的最大值M=2，最小正周期T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k是整數
∴函數f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈z
（2）∵f（x_i）=M=2
∴2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

∵0＜x_i＜10π，∴0≤k≤9  k∈Z
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+3+…+9）π+10×

π

6

=

140π

3

點評：本題考查了利用三角變換公式化簡三角函數式的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函數參數的幾何意義及周期計算公式，單調區間和對稱軸的求法