Question

已知函數的圖像在點處的切線方程為.
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求函數在區間上的最大值；
（Ⅲ）若曲線上存在兩點使得是以坐標原點為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時在[-1，2]上的最大值為2，
當時在[-1，2]上的最大值為；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由題意先對時的函數進行求導，易得，解得；（Ⅱ）因為函數為分段函數，要求在區間上的最大值，需分別求區間和上的最大值，當時，應對函數進行求導，求函數的單調性，從而求區間上的最大值；當時，應對函數分兩種情況討論，可得結論；（Ⅲ）根據條件可知的橫坐標互為相反數，不妨設，其中，若，則，由是直角，得，即，方程無解；若，則由于中的中點在軸上，且，所以點不可能在軸上，即同理有，，得的范圍是.
試題解析：（I）當時，
因為函數圖象在點處的切線方程為，
所以切點坐標為且解得.       4分
（II）由（I）得，當時，令，
可得或在和上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最大值為，當時，,
當時，恒成立此時在[-1，2]上的最大值為；
當時在[1，2]上單調遞增，且，
令則，
所以當時在[-1，2]上的最大值為，
當時在[-1，2]上的最大值為，
綜上可知，當時在[-1，2]上的最大值為2，
時當時在[-1，2]上的最大值為.            9分
（III）根據條件可知的橫坐標互為相反數，
不妨設，其中，
若，則，由是直角，得，即，
即此方程無解；
若，則由于中的中點在軸上，且，所以點不可能在軸上，
即同理有，，
令由于函數的值域是
所以實數的取值范圍是                      14分