Question

設f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）f（x）是否存在最大值或最小值？如果存在，請把它求出來；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的解析式可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 3-x＞0

，解得 1＜x＜3，由此可得函數的定義域．
（2）由于 f（x）=log

1

2

(x+1)(3-x)=log

1

2

[-(x-1)2+4]．令t=（x+1）（3-x）＞0，則f（x）=log

1

2

t．由于函數t有最大值為4，而沒有最小的正值，故函數f（x）有最小值為log

1

2

4，而沒有最大值．

解答：解：（1）由于f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)，
可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 3-x＞0

，解得 1＜x＜3，
故函數的定義域為（1，3）．
（2）由于f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)=log

1

2

(x+1)(3-x)
=log

1

2

[-(x-1)2+4]．
令t=（x+1）（3-x）＞0，則f（x）=g（t）=log

1

2

t．
由于函數t有最大值為4，而沒有最小的正值，故函數f（x）有最小值為log

1

2

4=-2，而沒有最大值．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，復合函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．