Question

用0，1，2，3，4，5這六個數字：
（1）可組成多少個無重復數字的自然數？
（2）可組成多少個無重復數字的四位偶數？
（3）組成無重復數字的四位數中比4023大的數有多少？（要求算出最終結果）

Answer 1

分析：（1）根據題意，分組成一位數、兩位數、三位數、四位數、五位數、六位數、6種情況討論，因首位數字不能為0，則每種情況下先分析首位數字的選法數目，再由排列公式分析其他位置的情況，由分步計數原理計算可得其自然數的個數；再由分類計數原理，將各種情況下的個數相加即可得答案．
（2）由題意知，符合要求的四位偶數可分為三類：0在個位，2在個位，4在個位，對每一類分別計數再求它們的和即可得到無重復數字的四位偶數的個數；
（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，當首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數字中選一個，后兩位沒有限制，當前兩位是40時，當前三位是403時，分別寫出結果數，相加得到結果．

解答：解：（1）由題意知，分情況討論：
①若組成一位數，有6種情況；
②若組成兩位數，由于十位不為0，則十位有5種選擇，個位也有5種選擇，共5×5=25個；
③若組成三位數，由于百位不為0，則百位有5種選擇，個位、十位有A₅²=20種選擇，共5×20=100個；
④若組成四位數，由于千位不為0，則千位有5種選擇，百位、個位、十位有A₅³=60種選擇，共5×60=300個；
⑤若組成五位數，由于萬位不為0，則萬位有5種選擇，其他位置有A₅⁴=120種選擇，共5×120=600個；
⑥若組成六位數，由于首位不為0，則首位有5種選擇，其他位置有A₅⁵=60種選擇，共5×120=600個；
由分類計數原理可得，共有6+25+100+300+600+600=1631個；
（2）第一類：0在個位時有A₅³個；
第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有A₄¹種），十位和百位從余下的數字中選（有A₄²種），于是有A₄¹A₄²個；
第三類：4在個位時，與第二類同理，也有A₄¹A₄²個．
共有四位偶數：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156個．
（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，共有A₅³=60，
當首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數字中選一個，共有C₄¹A₄²=48
當前兩位是40時，第三位是3，最后一位三選一，共有A₃¹=3種，
當前兩位是40時，第三位是5，最后一位三選一，共有A₃¹=3種，
當前三位是402時，第四位必須為5，有1種情況，
根據分類加法原理得到共有A³₅+A¹₄A²₄+2A¹₃+1=115

點評：本題考查排列、組合的運用，解題中要注意0不能在首位，注意分類計數原理和分步計數原理的應用．