Question

如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線與x軸垂直時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（II）求過點O、，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；

（Ⅲ）求的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）最大值，最小值

解析:

（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點．

設橢圓的方程：．

解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）．

由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，

∴，， ∴ ．        …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故橢圓的方程為 ．                            …………4分

（Ⅱ），

圓過點O、，

圓心M在直線上．

設則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切，

∴

由得解得

所求圓的方程為…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若垂直于軸，則，

         ，

         …………………………………………9分

②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為

   

由    得 

，方程有兩個不等的實數根．

設，.

,   ………………………………11分

        

        

         = 

 

，所以當直線垂于軸時，取得最大值

當直線與軸重合時，取得最小值