Question

已知a,b,c為互不相等的正數.試比較ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)與6abc的大小.

Answer 1

思路分析：要比較兩式大小，可作差后與0比較大小，另考慮到本題兩式均大于零，故也可考慮作商后與1比較大小.

解法一：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc

=a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²-6abc

=(a²b+bc²-2abc)+(ab²+ac²-2abc)+(b²c+a²c-2abc)

=b(a²+c²-2ac)+a(b²+c²-2bc)+c(b²+a²-2ab)

=b(a-c)²+a(b-c)²+c(b-a)².

∵a,b,c為互不相等的正數，∴上式＞0.

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)＞6abc.

解法二：.

=

∵a²+c²-2ac=(a-c)²＞0(a≠c),

∴(ac＞0).

同理,可得.

∴上式＞16×(2+2+2)=1.

∵6abc＞0,

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)＞6abc.