Question

(1)已知a、b、x∈R且ab≥0,x≠0,求證:|ax+|≥2ab.

(2)已知|x|＜1,|y|＜1,求證:≤1.

Answer 1

(1)證明:|ax+|≥|ax+|²≥4ab,而|ax+|²=a²x²++2ab≥+2ab=4ab,

∴|ax+|≥.

(2)證法一:∵|x|＜1,|y|＜1,

∴1-x²＞0,1-y²＞0,1-xy＞0.

于是要證原不等式成立,只要≤1,即證(1-x²)(1-y²)≤(1-xy)².

由1-x²-y²+x²y²≤1-2xy+x²y²,x²+y²≥2xy.

而該式顯然成立,故原不等式成立.

證法二:∵|x|＜1,|y|＜1,

∴可設x=cosα(α≠kπ,k∈Z),y=cosβ(β≠kπ,k∈Z).

于是=.

又∵cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)≤1,cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)≤1,

∴cosαcosβ+|sinαsinβ|≤1.

∴≤1,即≤1.