Question

設橢圓C₁的中心在原點，其右焦點與拋物線C₂：y²=4x的焦點F重合，過點F與x軸垂直的直線與C₁交與A、B兩點，與C₂交于C、D兩點，已知
（1）求橢圓C₁的方程
（2）過點F的直線l與C₁交與M、N兩點，與C₂交與P、Q兩點，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點F（1，0），設橢圓C₁的方程：（a＞b＞0），解方程組，得C（1，2），D（1，-2），由于C₁，C₂都關于x軸對稱，故，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設l：x=ty+1，解方程組，消元得：y²-4ty-4=0，故△=16t²+16＞0，=4（t²+1）．解方程組，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，故△=36t²+36（3t²+4）＞0，=，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點F（1，0），
設橢圓C₁的方程：（a＞b＞0），
解方程組，得C（1，2），D（1，-2），
由于C₁，C₂都關于x軸對稱，
∴，
∴，
∴，∴，
∵a²-b²=c²=1，
∴，解得b²=3，
∴a²=4，∴橢圓C₁的方程為：．
（2）設l：x=ty+1，解方程組，消元得：y²-4ty-4=0，
∴△=16t²+16＞0，
∴=4（t²+1），
再解方程組，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴△=36t²+36（3t²+4）＞0，
∴=，
由，即，
解得t=，
故直線l的方程為：或．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線方程的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答