Question

已知數列{a_n}的前項和為S_n，且Sn=n2S_n，數列{b_n}為等比數列，且b₁=l，b₄=64．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}滿足c_n=a_b，求數列{c_n}的前項和T_n；
（3）在（2）的條件下，數列{c_n}中是否存在三項，使得這三項成等差數列？若存在，求出此三項，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，當n=1時，a₁=1=S₁適合，所以a_n=2n-1，因為數列{b_n}為等比數列，且b₁=l，b₄=64，所以b₄=1×q³=64，即得q=4，b_n=4^n-1．
（2）先求得數列{c_n}的通項，由等比數列的前n項和公式可求Tn，
（3）假設存在，最后推出了奇數等于偶數的矛盾，可知不存在．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，當n=1時，a₁=1=S₁適合，所以a_n=2n-1
因為數列{b_n}為等比數列，且b₁=l，b₄=64，所以b₄=1×q³=64，即得q=4，b_n=4^n-1．
（2）因為c_n=abn，所以c_n=2b_n-1=2•4^n-1-1
所以Tn=2×4⁰-1+2×4¹-1+…+2×4^n-1-1
=2×（4⁰+4¹+…+4^n-1）-n=2×

1-4n

1-4

-n=

2

3

(4n-1)-n
（3）假設數列{c_n}中存在p、q、r（p＜q＜r，p，q，r∈N₊）三項，使得這三項成等差數列，
則2×2×4^q-1-2=2×4^p-1-1+2×4^r-1-1，即2×4^q-1=4^p-1+4^r-1，
即2×4^q-p=1+4^r-p，因為p＜q＜r，p，q，r∈N₊，所以2×4^q-p為偶數，
4^r-p為偶數，1+4^r-p為奇數，故不可能相等，
所以數列{c_n}中不存在三項，使得這三項成等差數列．

點評：本題考查數列的通項及前n項和的求解，涉及推矛盾證明不存在問題的方法，屬基礎題．