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已知函數f(x)=x3+sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，則下列正確說法的序號是
 
．
①f（0）=0；②f（x）是偶函數；③f（x）在[0，
π
2
]上單調遞減；④若f(x)≤f(
π
3
)，則x的取值范圍是-
π
2
≤x≤
π
3
．
分析：求出f（0）的值，判斷①的正誤；通過函數的奇偶性判斷②的正誤；利用函數的單調性判斷③f（x）在[0，
π
2
]上單調性；通過函數的單調性，推出不等式f(x)≤f(
π
3
)，x的取值范圍判斷④的正誤．
解答：解：∵函數f(x)=x3+sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，．
對于①，f（0）=03+sin0=0，∴①正確；
對于②，∵f（-x）=f（x）=-x3-sinx=-f（x），函數是奇函數，∴②函數是偶函數的判斷不正確；
對于③，f(x)=x3+sinx，x∈[0，
π
2
]是增函數，∴f（x）在[0，
π
2
]上單調遞減，不正確；
對于④，若f(x)≤f(
π
3
)，即x3+sinx≤
π3
27
+
3
2
，∵函數f(x)=x3+sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]是增函數，
∴x的取值范圍是-
π
2
≤x≤
π
3
，判斷正確．
故答案為：①④．
點評：本題考查函數的單調性函數的奇偶性，函數值的求法，命題的真假的判斷，基本知識的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型：022

已知函數f(x)的圖像在[a，b]上連續不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數”，則k的值是_________．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數，g（x）是奇函數，則f（x）+g（x）是奇函數
B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

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