Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

　 （ I）求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得，

，

整理得軌跡的方程為（且）．                                   4分

（Ⅱ）方法一、

設，

由可知直線，則，

故，即，                    6分

由三點共線可知，

與共線，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，                         8分

同理，由與共線，

∴ ，

即，

由（Ⅰ）知，故，                                10分

將，代入上式得，

整理得，

由得，        12分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標為．                                   14分

方法二、設

由可知直線，則，

故，即，                    6分

∴直線OP方程為：   ①；                      8分

直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即  ②；··········· 10分

聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．                              12分

由，得到，因為，所以，

由，得，∴的坐標為．       14分