Question

設函數f(x)=sinx•cosx+

3

cos2x
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f(α)=

1

3

+

3

2

，α∈(

π

12

，

π

3

)，求cos2α．

Answer 1

分析：（1）函數解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據f（α）=

1

3

+

3

2

，以及f（α）的解析式，求出sin（2α+

π

3

）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（2α+

π

3

）的值，所求式子中的角度變形后利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，計算即可得到結果．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）∵sin（2α+

π

3

）+

3

2

=

1

3

+

3

2

，α∈（

π

12

，

π

3

），∴2α+

π

3

∈（

π

2

，π），
∴sin（2α+

π

3

）=

1

3

，cos（2α+

π

3

）=-

2 2

3

，
∴cos2α=cos[（2α+

π

3

）-

π

3

]=

1

2

×（-

2 2

3

）+

1

3

×

3

2

=

3 -2 2

6

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．