Question

（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

已知數(shù)列{a_n}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和．

(1) 若，求的值；

(2) 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(3) 當(dāng)時(shí)，數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）數(shù)列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差數(shù)列。

【解析】

試題分析：(1) 令，得到，令，得到。…………2分

由，計(jì)算得．……………………………………………………4分

(2) 由題意，可得：

，所以有

，又，……………………5分

得到：，故數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列。……………7分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031412302175769897/SYS201303141231136639982286_DA.files/image003.png">，所以n≥2時(shí)，……………………………8分

所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)…………………………………10分

(3) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031412302175769897/SYS201303141231136639982286_DA.files/image016.png">  所以……………………………………11分

假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項(xiàng)a_m、a_k、a_p成等差數(shù)列，

①不防設(shè)m>k>p≥2，因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，所以2a_k=a_m+a_p

即：2´()´4^k–2 = ´4^m–2 + ´4^p–2，化簡(jiǎn)得：2´4^{k - p}= 4^m–p+1

即2^2k–2p+1=2^2m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，

故有：m=p=k，和題設(shè)矛盾………………………………………………………………14分

②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)中包含a₁時(shí)，

不妨設(shè)m=1，k>p≥2且a_k>a_p，所以2a_p = a₁+a_k ，

2´()´4^p–2 = – + ()´4^k–2，所以2´4^p–2= –2+4^k–2，即2^2p–4 = 2^2k–5 – 1

因?yàn)?i>k > p ≥ 2，所以當(dāng)且僅當(dāng)k=3且p=2時(shí)成立………………………………………16分

因此，數(shù)列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差數(shù)列……………………………18分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列的遞推式。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了一定的邏輯運(yùn)算與推理的能力及考查了學(xué)生通過(guò)已知條件分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．題目較難。