Question

已知函數的圖象如圖所示．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若在其定義域內為增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得f（0）=3，f′（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；
（2）可得函數g（x）的解析式，問題轉化為在區間（0，+∞）上恒成立，只需構造函數，x∈（0，+∞），由基本不等式求最值即可．
解答：解：（1）求導數可得f′（x）=ax²+a-2，…（2分）
由圖可知函數f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0．
得，解得．…（4分）
∴．…（5分）
（2）∵，…（6分）
∴．…（8分）
∵函數y=g（x）的定義域為（0，+∞），…（9分）
∴若函數y=g（x）在其定義域內為單調增函數，
則函數g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即kx²+k-2x≥0在區間（0，+∞）上恒成立．…（10分）
即在區間（0，+∞）上恒成立．
令，x∈（0，+∞），
則（當且僅當x=1時取等號）．…（12分）
∴k≥1．…（13分）
點評：本題考查函數的單調性和導數的關系，涉及恒成立問題，屬基礎題．