Question

（本小題滿分12分）

已知，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明：．

Answer 1

（1）①時，在上單調(diào)遞減；

②時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

③時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2）

（3）證明見解析。

解析:

（1）

…………………………1分

當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減……………2分

當(dāng)，即時，

①時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為……………3分

②時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為………5分

綜上：①時，在上單調(diào)遞減（只要寫出以上三種情況即得5分）

②時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

③時，，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

（2）恒成立，等價于…………………………6分

，，

在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，

所以的最大值為，所以…………………………8分

（3）證法一：由（2）知當(dāng)時，時，恒成立

所以時，有…………………………10分

所以相乘得…………………………12分

方法二：數(shù)學(xué)歸納法

①當(dāng)時，顯然成立…………………9分

②假設(shè)（）成立，即

那么當(dāng)時，

下面只需證，

設(shè)，所以設(shè)

由（2）知當(dāng)時，時，恒成立，

即在恒成立，所以

綜合①②命題成立…………………………………………………………12分