Question

寫出下面各數列的一個通項公式：
（1）3，5，7，9，…；
（2），，，，，…；
（3）-1，，-，，-，，…；
（4），-1，，-，，-，…；
（5）3，33，333，3 333，….

Answer 1

（1）a_n=2n+1.（2）a_n=.（3）a_n=（-1）ⁿ·.也可寫為a_n=.
（4）a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.（5）a_n=(10ⁿ-1).

（1）各項減去1后為正偶數，所以a_n=2n+1.
（2）每一項的分子比分母少1，而分母組成數列2¹，2²，2³，2⁴，…，所以a_n=.
（3）奇數項為負，偶數項為正，故通項公式中含因子（-1）ⁿ；各項絕對值的分母組成數列1，2，3，4，…；而各項絕對值的分子組成的數列中，奇數項為1，偶數項為3，即奇數項為2-1，偶數項為2+1，所以a_n=（-1）ⁿ·.
也可寫為a_n=.
（4）偶數項為負，奇數項為正，故通項公式必含因子（-1）ⁿ⁺¹，觀察各項絕對值組成的數列，從第3項到第6項可見，分母分別由奇數7，9，11，13組成，而分子則是3²+1，4²+1，5²+1，6²+1，按照這樣的規律第1、2兩項可改寫為，-，
所以a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.
（5）將數列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10-1,10²-1,10³-1,10⁴-1,…,
所以a_n=(10ⁿ-1).