Question

已知平面直角坐標系中O是坐標原點，，圓是的外接圓，過點（2，6）的直線為。
（1）求圓的方程；
（2）若與圓相切，求切線方程；
（3）若被圓所截得的弦長為，求直線的方程。

Answer 1

解：（1）圓C的方程為：
（2）        （3）

此題考查了直線與圓相交的性質，直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線斜率的求法，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，線段中點坐標公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論及轉化的思想，其中當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．
（1）三角形外接圓的圓心C為三角形三邊垂直平分線的交點，故找出邊OA與OB的垂直平分線交點即為圓心C，由A和O的坐標得出直線OA的斜率，利用兩直線垂直時斜率滿足的關系求出線段OA垂直平分線的斜率，再利用線段中點坐標公式求出線段OA的中點坐標，確定出線段OA垂直平分線的方程，找出線段OB垂直平分線的方程，兩直線解析式聯立求出兩直線的交點坐標，即為圓心C的坐標，再由C與O的坐標，利用兩點間的距離公式求出|OC|的長，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標準方程即可；
（2）顯然切線方程的斜率存在，設切線方程的斜率為k，由切線過（2，6），表示出切線的方程，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出切線的方程；
（3）當直線l的斜率不存在時，顯然x=2滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，由直線l過（2，6），表示出直線l的方程，由弦長及半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距，即為圓心C到直線l的距離，再利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程