Question

設a，b為常數，M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}；F：把平面上任意一點(a，b)映射為函數acodx+bsinx．

（1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數；

（2）證明：當f₀(x)ÎM時，f₁(x)=f₀(x+t)ÎM，這里t為常數；

（3）對于屬于M的一個固定值f₀(x)，得M₁={f₀(

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答案：
解析：

（1）證明：假設有兩個不同的點(a，b)，(c，d)對應同一函數，即F(a，b)=acosx+bsinx與F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對于一切實數x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個不同點矛盾，設不成立．故不存在兩個不同點對應同函數． （2）證明：當f0(x)ÎM時，可得常數a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因為a0，a0，t為常數，設a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，則m，n是常數．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：當f0(x)Î M時，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，則M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原點為圓心，為半徑的圓．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：假設有兩個不同的點(a，b)，(c，d)對應同一函數，即F(a，b)=acosx+bsinx與F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對于一切實數x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個不同點矛盾，設不成立．故不存在兩個不同點對應同函數． （2）證明：當f0(x)ÎM時，可得常數a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因為a0，a0，t為常數，設a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，則m，n是常數．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：當f0(x)Î M時，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，則M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原點為圓心，為半徑的圓．