Question

已知定義域為R的函數y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，則f（2009）=（　　）

• A、3
• B、

  1

  3

• C、2009
• D、

  1

  2009

Answer 1

分析：由題意和f（3）=3，需要令x=2代入關系式可求出f（1），再令x=x+1和x=x+2求出函數的周期，利用周期性求出f（2009）的值．

解答：解：由題意知，對于任意的實數都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=2代入上式得，f（3）f（1）=1，
∵f（3）=3，∴f（1）=

1

3

，
令x=x+1代入得，f（x+2）f（x）=1，則f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函數且周期是4，
∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=

1

3

．
故選B．

點評：本題是一道抽象函數問題，解題的關鍵是巧妙的賦值，求出函數值和函數的周期性，再利用周期性求函數值，即靈活的“賦值法”是解決抽象函數問題的基本方法．