Question

已知實數x、y滿足

x+y-3≥0     x-y+1≥0     x≤2

（1）若z=2x+y，求z的最值；
（2）若z=x²+y²，求z的最值
（3）若z=

y

x

，求z的最值．

Answer 1

分析：先畫出約束條件的可行域，根據
（1）z=2x+y即y=-2x+z，z表示直線的縱截距；
（2）z=x²+y²所表示的幾何意義：點到原點距離的平方；
（3）z=

y

x

的幾何意義是圖中陰影部分中的點與原點連線的斜率，分析圖形找出滿足條件的點，即可得到結論．

解答：解：滿足約束條件的可行域

x+y-3≥0     x-y+1≥0     x≤2

如圖所示，三角形三個頂點的坐標分別為（2，1），（2，3），（1，2）
（1）z=2x+y即y=-2x+z，z表示直線的縱截距，則z=2x+y在（2，3）處取得最大值為7，在（1，2）處取得最小值為4；
（2）∵z=x²+y²所表示的幾何意義為：點到原點距離的平方
由圖可得，原點到圖中陰影部分中的直線x+y-3=0的距離的平方時，
此時z=x²+y²的最小，最小值為(

|-3|

2

)2=

9

2

，點（2，3）到原點的距離最大，最大值為13；
（3）z=

y

x

的幾何意義是圖中陰影部分中的點與原點連線的斜率，在點（2，1）處，斜率取得最小值為

1

2

；在（1，2）處，斜率取得最大值為2．

點評：本題考查線性規劃問題，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．