Question

已知函數f（x）=-

1

3

x³+（

a

2

-1）x²+ax（a∈R）
（I）證明：函數f（x）總有兩個極值點x₁，x₂且|x₁-x₂|≥2；
（II）設函數f（x）在（-1，1）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，令f′（x）=0，則△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，可得函數f（x）總有兩個極值點x₁，x₂，利用韋達定理，可以證明|x₁-x₂|≥2；
（II）由（I）知函數的單調遞增區間為（x₁，x₂）（不妨設x₁＜x₂），利用函數f（x）在（-1，1）上單調遞增，可得（-1，1）⊆（x₁，x₂），從而可建立不等式組，即可確定a的取值范圍．

解答：（I）證明：求導函數可得f′（x）=-x²+（a-2）x+a
令f′（x）=0，則△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，∴函數f（x）總有兩個極值點x₁，x₂，
且x₁+x₂=a-2，x₁x₂=-a
∴|x₁-x₂|=

(a-2)2+4a

=

a2+4

≥2；  
（II）解：由（I）知函數的單調遞增區間為（x₁，x₂）（不妨設x₁＜x₂）
∵函數f（x）在（-1，1）上單調遞增，
∴（-1，1）⊆（x₁，x₂）
∴

a-2- a2+4 2 ≤-1 a-2+ a2+4 2 ≥1

∴a≥

3

2

∴a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查韋達定理的運用，正確確定方程的根是關鍵．