Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，
（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的點，求點P到AC，BC的距離乘積的最大值；
（2）若△ABC的面積是4，求內切圓半徑的范圍．

Answer 1

（1）設P到AC，BC的距離分別為m，n，則P的坐標為（n，m），
∵BC=3，AC=4，
則A（4，0），B（0，3），
故由直線的截距式方程可得，直線AB的方程為

x

4

+

y

3

=1，
∵P是AB上的點，則

m

4

+

n

3

=1，
∴

m

4

+

n

3

=1≥2

mn 12

，
∴mn≤3，
∴點P到AC，BC的距離乘積的最大值3；
（2）設BC=a，CA=b，內切圓的半徑為r，
∵△ABC的面積是4，則

1

2

ab=4，
∴ab=8，
∴△ABC的周長為BC+CA+AB=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=4

2

+4，
由三角形的“等面積法”可得，

1

2

（a+b+c）r=4，
∴r=

8

a+b+ a2+b2

≤

8

4+4 2

=2

2

-2，
故內切圓半徑的取值范圍為（0，2

2

-2]．