Question

某年級1000位學生某次測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間為：[75，80）、[80，85）、[85，90）、[90，95）、[95，100]，規定成績不低于90分的學生為優秀．
（l）用分層抽樣的方法從這1000人中抽取50人的成績進行分析，求抽取優秀的學生入數；
（2）在（1）抽取的樣本中，從優秀的學生中任取兩人，記“成績不低于95分的人數”為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）根據頻數=頻率×樣本容量，可求出各小組頻數的值；設其中成績為優秀的學生人數為x，根據50人中優秀的比例等于1000人中優秀的比例，建立等式，解之即可；
（2）ξ的取值為0，1，2，然后利用排列組合的知識求出相應的概率，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）依題意，這次考試成績的頻數分布表如下表：

區間	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人數	50	200	350	300	100

設其中成績為優秀的學生人數為x，則

x

50

=

300+100

1000

，解得：x=20，
即其中成績為優秀的學生人數為20名．…（7分）
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，
20名優秀的學生中，成績不低于95分的人數為5人．故
P（ξ=0）=

C 2 15

C 2 20

=

210

380

，
P（ξ=1）=

C 1 15 C 1 5

C 2 20

=

150

380

，
P（ξ=2）=

C 2 5

C 2 20

=

20

380

，
所以X的分布列為

ξ	0	1	2
P	21 38	15 38	15 38

所以X的數學期望為Eξ=0×

21

38

+1×

15

38

+2×

15

38

=

45

38

．…（13分）

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的數學期望，同時考查了計算能力，屬于基礎題．