Question

（2013•北京）設l為曲線C：y=

lnx

x

在點（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

分析：（I）求出切點處切線斜率，代入代入點斜式方程，可以求解
（II）利用導數分析函數的單調性，進而分析出函數圖象的形狀，可得結論．

解答：解：（I）∵y=

lnx

x

∴y′=

1-lnx

x2

∴l的斜率k=y′|_x=1=1
∴l的方程為y=x-1
證明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
則f′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）時，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
即除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方

點評：本題考查的知識點是導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度中檔．