Question

下表所示為X、Y、Z三種食物的維生素含量及其成本．

某人欲將這三種食物混合，制成100 kg的混合物，設所用的食物X、Y、Z的份量依次是x，y，z(kg)．

(1)試以x，y表示z；

(2)試以x，y表示混合物成本；

(3)若混合物至少需要44 000單位維生素A及48 000單位維生素B，證明y≥20，2x－y≥40，x＋y≤100；

(4)確定使成本最少的x，y，z的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)x＋y＋z＝100，所以z＝100－x－y．

　　(2)混合物成本Q＝6x＋5y＋4z＝6x＋5y＋4(100－x－y)＝400＋2x＋y．

　　(3)因為400x＋600y＋400z≥44000，即400x＋600y＋400(100－x－y)≥44000，所以y≥20．因為800x＋200y＋400z≥48000，即800x＋200y＋400(100－x－y)≥48000，所以2x－y≥40．因為x＋y＋z＝100，所以x＋y＝100－z．而z≥0，所以x＋y≤100．

　　(4)作出不等式組所表示的平面區域(如圖)，

　　目標函數為P＝40＋2x＋y．當點(x，y)在平面區域△ABC(包括邊界)上變動時，目標函數P在點A(30，20)處取得最小值480．

提示：

在第(4)問中，可以將z用x和y來表示，從而達到減少變量的效果．