Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）（a＞1），函數g（x）的圖象與函數y=

3

2

+

ax- 3 4

（a＞1）的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）若函數g（x）在區間[m，n]  (m＞

3

2

)上的值域為[log_a（p+3m），log_a（p+3n）]，求實數p的取值范圍；
（3）設函數F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），試用列舉法表示集合M={x|F（x）∈Z}．

Answer 1

分析：（1）根據函數g（x）的圖象與函數y=

3

2

+

ax- 3 4

（a＞1）的圖象關于直線y=x對稱可知兩函數互為反函數，從而求出函數g（x）的解析式；
（2）根據函數的單調性建立等式關系，x²-3x+3=p+3x在（

3

2

，+∞）有兩個不等的根，從而求出p的范圍；
（3）先求出函數F（x）的值域，然后根據值域中的整數來求相應的x的值，即可求出集合M．

解答：解：（1）∵函數g（x）的圖象與函數y=

3

2

+

ax- 3 4

（a＞1）的圖象關于直線y=x對稱
∴函數g（x）與函數y=

3

2

+

ax- 3 4

（a＞1）互為反函數
則g（x）=log_a（x²-3x+3）（x＞

3

2

）
（2）∵a＞1，m＞

3

2

∴函數g（x）在區間[m，n]  (m＞

3

2

)上單調遞增
∵函數g（x）在區間[m，n]  (m＞

3

2

)上的值域為[log_a（p+3m），log_a（p+3n）]，
∴g（m）=log_a（m²-3m+3）=log_a（p+3m），
g（n）=log_a（n²-3n+3）=log_a（p+3n），
即x²-3x+3=p+3x在（

3

2

，+∞）有兩個不等的根
∴-6＜p＜-

15

4

（3）f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（x²-3x+3）=loga

x+1

x2-3x+3

∴F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

（x＞

3

2

）
而函數F（x）的值域為（0，

2 7 +5

3

]
∵F（x）∈Z
∴F（x）=1或2或3，此時x=2+

2

、

5

2

、2
∴M={x|F（x）∈Z}={2+

2

，

5

2

，2}

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及函數的值域和列舉法，同時考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．