Question

（04年福建卷理）（12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.

（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依題意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，           ①

得y＇=x.

∴過點P的切線的斜率k_切= x₁，

∴直線l的斜率k_l=-=-，

∴直線l的方程為y-x₁²=- (x-x₁)，

方法一：

聯立①②消去y，得x²+x-x₁²-2=0.

∵M是PQ的中點

∴

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁-y₂=x₁²-x₂²=(x₁+x₂)(x₁-x₂)=x₀(x₁-x₂)，

則x₀==k_l=-，

∴x₁=-，

將上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

（Ⅱ）設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).

分別過P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則

.

由消去x，得y²-2(k²+b)y+b²=0.      ③

則

方法一：

∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正數，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法二：

∴=|b|=|b|.

當b>0時，=b==+2>2；

當b<0時，=-b=.

又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>-2b.

所以>=2.

∵當b>0時，可取一切正數，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三點共線得k_TQ=K_TP，

即=.

則x₁y₂-bx₁=x₂y₁-bx₂，即b(x₂-x₁)=(x₂y₁-x₁y₂).

于是b==-x₁x₂.

∴==+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正數，

∴的取值范圍是（2，+）.