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已知展開式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…對x∈R且x≠0恒成立，方程
sinx
x
=0有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)…，比較兩邊x2的系數可以推得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．設代數方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n個不同的根：±x1，±x2，…±xn，類比上述方法可得a1=
（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
．（用x1，x2，…，xn表示）
分析：由已知中式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…對x∈R且x≠0恒成立，方程
sinx
x
=0有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則，1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)…，比較兩邊x2的系數可以推得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．類比推理可由代數方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n個不同的根：±x1，±x2，…±xn，轉化 為1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
1
x
2
1
)(1-
1
x
2
2
)…(1-
1
x
2
n
)，比較兩邊x2的系數即可得到答案．
解答：解：由1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)中，
比較兩邊x2的系數可以推得：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．
類比揄代數方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n個不同的根：±x1，±x2，…±xn，
即1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
1
x
2
1
)(1-
1
x
2
2
)…(1-
1
x
2
n
)中，
比較兩邊x2的系數可以推得：a1=（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
故答案為：（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
點評：本題考查的知識點是類比推理，其中由已知根據方程根的形式，將一個累加式變成一個累乘式，用到一次類比推理；現時觀察兩邊x2的系數得到結論，又用到一次類比，故難較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設代數方程a0-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n個不同的根±x1，±x2，…，±xn，則a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
x2
x
2
1
)(1-
x2
x
2
2
)•…•(1-
x2
x
2
n
)，比較兩邊x2的系數得a1=
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
（用a0•x1•x2•…•xn表示）；若已知展開式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…對x∈R，x≠0成立，則由于
sinx
x
=0有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22•π2
)•…•(1-
x2
n2π2
)•…，利用上述結論可得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
π2
6
．

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