Question

在直角坐標系中，點，點為拋物線的焦點，
線段恰被拋物線平分．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）過點作直線交拋物線于兩點，設直線、、的斜率分別為、、，問能否成公差不為零的等差數列？若能，求直線的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），，能成公差不為零的等差數列，直線的方程為：

試題分析：（Ⅰ）焦點的坐標為，線段的中點在拋物線上，
∴，，∴(舍) ．                                ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線：，．
設方程為：，、，則
由得：，
，∴或．，                   ……5分
假設，，能成公差不為零的等差數列，則．
而
，                              ……7分
，∴，，解得：（符合題意），
（此時直線經過焦點，，不合題意，舍去），
直線的方程為，即． 
故，，能成公差不為零的等差數列，直線的方程為：.             ……10分
點評：解決直線與圓錐曲線的位置，一般免不了聯立直線方程和圓錐曲線方程，此時運算量比較大，要仔細運算，而且聯立之后，不要忘記驗證判別式大于零.