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函數f(x)=－x3＋1在R上是否具有單調性？如果具有單調性，它在R上是增函數還是減函數？試證明你的結論．

解析： f(x)在R上具有單調性，且是單調減函數，證明如下：

設x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，則f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋)2＋x22］．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋)2＋x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

∴函數f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是減函數．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lg(
3-x3+x
)，其中 x∈（-3，3）．
（1）判別函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數f（x）在（-3，3）上單調性；
（3）是否存在這樣的負實數k，使f（k-cosθ）+f（cos2θ-k2）≥0對一切θ∈R恒成立，若存在，試求出k取值的集合；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=sinx+tan
x
2
+x3，x∈(-1，1)，則滿足不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0的實數a的取值范圍是
（0，
2
3
）
（0，
2
3
）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)＝－x3＋x2＋(a2－1)x，其中a>0.

(1)若函數y＝f(x)在x＝－1處取得極值，求a的值；

(2)已知函數f(x)有3個不同的零點，分別為0、x1、x2，且x1<x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010年高三年級秦皇島市三區四縣聯考文科試題 題型：解答題

(文)已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.

(1)若函數f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；

(2)函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，求實數b的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011年江西省高二下學期第一次月考數學文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數f(x)＝－x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R)．

(1)若a＝3，試確定函數f(x)的單調區間；

(2)若函數f(x)在其圖象上任意一點(x0，f(x0))處切線的斜率都小于2a2，求a的取值范圍．

 

 

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