Question

已知（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ
（1）求a+a₂+…+a_2n的值   （2）求a₁+2a₂+…+2na_2n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令已知等式中的x分別取1，-1得到兩個等式，兩式相加得到要求的值．
（2）先對已知等式兩邊分別求導數得到一個新的等式，令新等式中的x=1求出要求的系數和．
解答：解：（1）令x=1得a+a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ
令x=-1得a_0-a1+a₂+…+a_2n=1
所以兩式相加得a+a₂+…+a_2n=
（2）對等式求導數得n（1+x+x²）^n-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+2na_2nx^2n-1
令x=1得
a₁+2a₂+…+2na_2n=3^n-1
點評：求二項展開式中的系數和問題，常采用的方法是賦值法．此法的關鍵是通過觀察給未知數賦什么值能得到要求的系數和．