Question

（本小題滿分15分）已知函數(R)的一個極值點為.

(1) 求的值和的單調區間；

(2) 若方程的兩個實根為, 函數在區間上單調,求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在上單調遞增, 在上單調遞減,在上單調遞增. (2)實數的取值范圍為.   

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）因為函數的一個極值點為x=1.

可以知道該點的導數值為零，得到a的值，并進而求解導數，得到f(x)的單調區間；

(2) 因為方程的兩個實根為, 函數f(x)在區間上單調,利用單調性判定區間只能是已知單調區間的子區間而已，進而求解得到范圍。

解：（1）∵,

      ∴.

      ∵的一個極值點為,

      ∴.

     ∴ .                                        ————————3分

     ∴,

當時, ;當時, ;當時, ;

∴函數在上單調遞增, 在上單調遞減,在上單調遞增.  6分

(2)∵方程的兩個不等實根為,

∴△=b²-4b>0,   b<0或b>4  (*)

∵ 函數在區間上是單調的,

∴區間只能是區間,,之一的子區間.

記，的對稱軸為x=,

①., 則，解得無解；————————9分

②，則，解得———————12分

③則 解得b>4

∴實數的取值范圍為.    ------------------------------------------------15分