Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

(1)設動點P滿足PF²－PB²＝4，求點P的軌跡；

(2)設x₁＝2，x₂＝，求點T的坐標；

(3)設t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．

Answer 1

【答案】解：由題設得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．

(1)設點P(x，y)，則PF²＝(x－2)²＋y²，PB²＝(x－3)²＋y².

由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－(x－3)²－y²＝4，化簡得x＝.

故所求點P的軌跡為直線x＝.

(2)由x₁＝2，＝1及y₁＞0，得y₁＝，則點M(2，)，從而直線AM的方程為y＝x＋1；

由x₂＝，＝1及y₂＜0，得y₂＝－，則點N(，－)，從而直線BN的方程為y＝.

由

所以點T的坐標為(7，)．

(3)由題設知，直線AT的方程為y＝ (x＋3)，直線BT的方程為y＝ (x－3)．

點M(x₁，y₁)滿足

得.

因為x₁≠－3，則，

解得x₁＝，

從而得y₁＝.

點N(x₂，y₂)滿足.

若x₁＝x₂，則由及m＞0，得m＝2，此時直線MN的方程為x＝1，過點D(1,0)．

若x₁≠x₂，則m≠2，直線MD的斜率k_MD＝，

直線ND的斜率k_ND＝，得k_MD＝k_ND，所以直線MN過D點．

因此，直線MN必過x軸上的點(1,0)