Question

命題“若過雙曲線

x2

3

-y²=1的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交X軸于點M則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

3

．
（1）試類比上述命題，寫出一個關于橢圓C：

X2

25

+

Y2

9

=1的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不證明）．

Answer 1

分析：（1）關于橢圓C的類似命題是：過橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的一個焦點F₂（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

5

2

．
證明：設直線l為：y=k（x-4），當k=0時，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，

|AB|

|FM

=

5

2

．當k≠0時，由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x-4)

，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，由根的判別式和韋達定理知AB的垂直平分線方程為：y+

36k

9+25k2

=-

1

k

(x-

4×25k2

9+25k2

)，由此能夠證明

|AB|

|FM|

=

5

2

．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，由此知則

|AB|

|FM|

為定值

2

e

．

解答：解：（1）關于橢圓C的類似命題是：
過橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的一個焦點F₂（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

5

2

．
證明：由于l與x軸不垂直，設直線l為：y=k（x-4），
①當k=0時，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，

|AB|

|FM

=

5

2

．
②當k≠0時，由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x-4)

，
消去y，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，
△=（8×25k²）²-4×25（25k²+9）（16k²-9）=4×25×9²（k²+1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點N（x₀，y₀），
則x1+x2=

8×25k2

9+25k2

，
∴x0=

4×25k2

9+25k2

，y0=k(x0-4)=4k(

25k2

9+25k2

-1)=

-36k

9+25k2

，
AB的垂直平分線方程為：y+

36k

9+25k2

=-

1

k

(x-

4×25k2

9+25k2

)，
令y=0，解得x=

64k2

9+25k2

，
∴M(

64k2

9+25k2

，0)，
∴|FM|=|4-xm| =

36(1+k2)

9+25k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

18×5(1+k2)

9+25k2

，
∴

|AB|

|FM|

=

5

2

．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

2

e

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．