Question

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時(shí)，都有f(

1

n

)-f(

1

m

)=f(

m-n

1-mn

)記an=f(

1

n2+5n+5

)，n∈N^*，則在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…a₈=（　　）

• A、f(

  1

  2

  )
• B、f(

  1

  3

  )
• C、f(

  1

  4

  )
• D、f(

  1

  5

  )

Answer 1

分析：根據(jù)“f(

1

n

)-f(

1

m

)=f(

m-n

1-mn

)”將“an=f(

1

n2+5n+5

)”分拆為“f(

1

n+2

)-f(

1

n+3

)”，再用裂項(xiàng)相消法求“a₁+a₂+…a₈”

解答：解：∵f(

1

n

)-f(

1

m

)=f(

m-n

1-mn

)
∴an=f(

1

n2+5n+5

)=f(

1

n+2

)-f(

1

n+3

)
∴a₁+a₂+…a₈=f(

1

3

) -f(

1

4

) +f(

1

4

) -…+f(

1

10

) -f(

1

11

)　
=f（

1

3

）-f（

1

11

）=f(

1

4

)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)鍵是將通項(xiàng)分柝為：an=f(

1

n2+5n+5

)=f(

1

n+2

)-f(

1

n+3

)．