Question

已知命題A：若x＞1，則x+

4

x-1

≥5且8-6x-

3

2x

≤2成立．命題A的逆否命題是

 

；該逆否命題是

 

．（填“真命題”或“假命題”）

Answer 1

分析：根據命題“若p則q”的逆否命題為“若￢q則￢p”及命題否定時邏輯連接詞“且”與“或”要互化，易于寫出命題A的逆否命題；
根據互為逆否命題的兩命題真假性相同的特點，要判斷命題A的逆否命題的真假，可判斷命題A的真假，因為該命題更易于判斷（利于基本不等式a+b≥2

ab

即可）．

解答：解：命題A的逆否命題是“若x+

4

x-1

＜5或8-6x-

3

2x

＞2，則x≤1成立”；
若x＞1，則x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2×2+1=5且8-6x-

3

2x

=8-（6x+

3

2x

）≤8-2×3=2，
所以命題A為真命題，則其逆否命題也是真命題．
故答案為：“若x+

4

x-1

＜5或8-6x-

3

2x

＞2，則x≤1成立”與“真命題”．

點評：本題考查四種命題的形式關系及逆否命題的真假關系，同時考查基本不等式的靈活運用．