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 已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個焦點，設為橢圓C上一點，存在以為圓心的與外切、與內切

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點，與軸相交于點D，若

求的值；

（Ⅲ）已知真命題：“如果點T（）在橢圓上，那么過點T

的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結論，解答下面問題：

已知點Q是直線上的動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，

M、N為切點，問直線MN是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

【答案】

 本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想

解：（Ⅰ）依題意可知，P與外切、內切. 設P的半徑為，則

  -----------------------------------2分

，   2=4，2==2

=2，c=1 , 橢圓C的方程為+=1  ------------------------4分

（Ⅱ）直線AB：y=k（x-1），由  

,令A,則，

，      ------------------------------------6分

∵

∴，

∵2=，， ------------------------------------8分

2+

=

= ，      ∴. -----------------------10分

（Ⅲ）設Q（）,M（），N（）

         則切線QM：

切線QN：

∴     ∴M、N在直線上

∴  直線MN：------------------------------------12分

又   

 ∴直線MN必過定點（）. ------------------------------------13分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點A，B分別是橢圓的長軸的左、右端點，
左焦點坐標為（-4，0），且過點P ( 
3
2
，  
5
2
3
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知F是橢圓C的右焦點，以AF為直徑的圓記為圓M，試問：過P點能否引圓M的切線，若能，求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（1，
3
2
），F1，F2分別為橢圓C的左右焦點，且離心率e=
1
2

（1）求橢圓C的方程．
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=m（定值m≠0），求直線l的斜率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1中，F1，F2分別為橢圓C的左右兩個焦點，P為橢圓上且在第一象限內的點，△PF1F2的重心為G，內心為I．
（1）求證：IG∥F1F2；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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