Question

化簡：

cos( π 4 +x)-sin( π 4 +x)

cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x)

的值為

 

．

Answer 1

分析：法一：給原式的分子分母都乘以分母后，分別利用平方差及完全平方公式化簡，然后利用二倍角的正弦．余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，根據弦切互化公式化簡得到值即可．
法二：給原式的分子分母同時除以cos（

π

4

+x），利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將其中的“1”變為tan

π

4

，利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡，即可得到結果．

解答：解：法一：原式=

[cos( π 4 +x)-sin( π 4 +x)][cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x) ]

[cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x)] 2

=

cos2( π 4 +x)-sin2( π 4 +x)

1+2sin( π 4 +x)cos( π 4 +x)

=

cos( π 2 +2x)

1+sin( π 2 +2x)

=

-sin2x

1+cos2x

=

-2sinxcosx

1+2cos2x-1

=

-sinxcosx

cos2x

=-

sinx

cosx

=-tanx；
法二：原式=

1-tan( π 4 +x)

1+tan( π 4 +x)

=

tan π 4 -tan( π 4 +x)

1+tan π 4 tan( π 4 +x)

=tan[

π

4

-（

π

4

+x）]
=tan（-x）
=-tanx．
故答案為：-tanx

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡求值，靈活運用同角三角函數間的基本關系弦化切，是一道中檔題．