Question

已知等比數列{a_n}的所有項均為正數，首項a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{a_n+1-λa_n}的前n項和為S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用的等差數列和等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的定義和其前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公比為q＞0，
由條件，q³，3q²，q⁴成等差數列，∴6q²=q³+q⁴
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴數列{a_n}的通項公式為an=1×2n-1=2n-1．
（2）記b_n=a_n+1-λa_n，則bn=2n-λ•2n-1=(2-λ)2n-1
若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合條件；   
若λ≠2，則

bn+1

bn

=2，數列{b_n}為等比數列，首項為2-λ，公比為2．
此時Sn=

(2-λ)

1-2

(1-2n)=(2-λ)(2n-1)，
∵Sn=2n-1(n∈N*)，
∴λ=1．

點評：熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式及其定義和其前n項和公式是解題的關鍵．