Question

（2013•汕頭一模）廣東省汕頭市日前提出，要提升市民素質和城市文明程度，促進經濟發展有大的提速，努力實現“幸福汕頭”的共建共享．現隨機抽取50位市民，對他們的幸福指數進行統計分析，得到如下分布表：

幸福級別	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指數（分）	90	60	30	0
人數（個）	19	21	7	3

（I）求這50位市民幸福指數的數學期望（即平均值）；
（11）以這50人為樣本的幸福指數來估計全市市民的總體幸福指數，若從全市市民（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級別為“非常幸福或幸福”市民人數．求ξ的分布列；
（III）從這50位市民中，先隨機選一個人．記他的幸福指數為m，然后再隨機選另一個人，記他的幸福指數為n，求n＜m+60的概率P．

Answer 1

分析：（I）由數學期望（即平均值）的定義，結合圖表可得答案；
（II）可得ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求其概率，即可得其分布列；
（III）方法一，求對立事件n≥m+60的概率，進而由P=1-P₁可得答案，方法二，直接列舉出符合n＜m+60的情況，由古典概型的公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記Ex表示這50位市民幸福指數的數學期望，
∴Ex=

1

50

(90×19+60×21+30×7+0×3)=63．…（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3    …（2分）
P(ξ=0)=

C

0 3

(

4

5

)0(

1

5

)3=

1

125

…（3分）
P(ξ=1)=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

…（4分）
P(ξ=2)=

C

2 3

(

4

5

)2(

1

5

)1=

48

125

…（5分）
P(ξ=3)=

C

3 3

(

4

5

)3(

1

5

)0=

64

125

…（6分）
∴ξ分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

…（7分）
（Ⅲ）方法一：設所有滿足條件的對立事件n≥m+60的概率為P₁
①滿足m=0且n=60的事件數為：

A

1 3

A

1 21

=63…（8分）
②滿足m=0且n=90的事件數為：

A

1 3

A

1 19

=57…（9分）
③滿足m=30且n=90的事件數為：

A

1 7

A

1 19

=133…（10分）
∴P1=

63+57+133

A 2 50

=

253

2450

…（11分）
所以滿足條件n＜m+60的事件的概率為P=1-P1=1-

253

2450

=

2197

2450

．…（12分）
方法二：基本事件的總數為

A

2 50

=2450
滿足條件n＜m+60的有如下各種情況：
①滿足m=0時，n=0，30的事件數為：

A

1 3

A

1 9

…（8分）
②滿足m=30時，n=0，30，60的事件數為：

A

1 7

A

1 30

…（9分）
③滿足m=60時，n=0，30，60，90的事件數為：

A

1 21

A

1 49

…（10分）
④滿足m=90時，n=0，30，60，90的事件數為：

A

1 19

A

1 49

…（11分）
所以P=

A 1 3 A 1 9 + A 1 7 A 1 30 + A 1 21 A 1 49 + A 1 19 A   49

A 2 50

=

3×9+7×30+21×49+19×49

50×49

=

2197

2450

…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數學期望的求解，屬中檔題．