Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與四個面都相切(如圖)， 則棱錐的表面積和球的半徑為      

Answer 1

9＋6；－2

過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE(如圖)

∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，
又因為正三棱錐的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形邊長為2，
∴DE＝AE＝××2＝，
又PE為側面之高，所以PE＝＝．
高球的半徑為r，由△POF∽△PED，知＝，
所以＝，r＝－2，
所以
＝3××2×＋×
＝9＋6．