Question

已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動，且，點P在線段MN上，滿足，記點P的軌跡為曲線W．

(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關系；

(2)當時，設A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓；當時，曲線的方程為，為以原點為圓心、半徑為2的圓；當時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓．（2）.

【解析】

試題分析：（1）設出，根據已知條件以及 ，得到一個關系式，化簡成標準形式為，分別討論當，，時所表達的的形狀；（2）由，則曲線的方程是，得出，再設，依據對稱性得，表示出，根據基本不等式得到，故四邊形面積有最大值.

試題解析：（1）設，則，而由 ，則，解得，代入得：，化簡得.

當時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓；

當時，曲線的方程為，為以原點為圓心、半徑為2的圓；

當時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓．

（2）由（1）當時，曲線的方程是，可得．設，由對稱性可得．因此，四邊形的面積，

即，而，即，所以四邊形的面積當且僅當時，即且時取等號，故當C的坐標為時，四邊形面積有最大值.

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與圓錐曲線的聯立問題.