Question

如下圖，在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是AC、BD的交點，E、F分別是AB與AD的中點．

(1)求異面直線OD₁與A₁C₁所成角的大小；

(2)求異面直線EF與A₁C₁所成角的大小；

(3)求異面直線EF與OD₁所成角的正切值；

(4)求異面直線EF與OD₁的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)∵∥AC，∴與AC所成的銳角或直角就是與所成的角，連結、，在△和△，∵＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵O是底邊AC的中點，∴，故與所成的角是90°． 　　(2)∵E、F分別是AB、AD中點，∴EF∥BD，又∵∥AC，∴AC與BD所成的銳角或直角就是EF與所成的角．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF與所成的角為90° 　　(3)∵EF∥BD，∴為異面直線EF與所成的角．∵四邊形是正方形，∴，∴在Rt△中，，＝＝，∴，即EF與所成角的正切值為． 　　(4)∵EF∥BD，BD⊥AC，∴EF⊥AC，設交點為G．∵⊥AC(由(1)知)于O，則AC是異面直線EF與的公垂線，OG的長即為EF與間的距離，由于G是OA中點，O是AC中點，且，∴，即EF與間的距離為．